ТРЕНИНГ МОЗГОВОЙ
Задачи на развитие мышления.
По материалам книги "Интеллект-тренинг для всех возрастов"
Автор: А. Родионов
Задача 1.
Положите на стол 3 кучки спичек. В одну кучку положите 11 спичек, в другую - 7, а в третью - 6. Перекладывая спички из любой кучки в любую другую, нужно сравнять все 3 кучки, чтобы в каждой было по 8 спичек. Это возможно, так как общее количество спичек - 24 - делится на 3 без остатка; при этом требуется соблюдать такое правило: к любой кучке разрешается добавлять ровно столько спичек, сколько в ней есть. Например, если в кучке 6 спичек, то добавить к ней можно только 6, взяв их из одной кучки, если в кучке 4 спички, то и добавить к ней можно только 4.
Задача решается в 3 хода.
Задача 2.
Мальчик плотно прижал грань синего карандаша к грани желтого карандаша. Один сантиметр (в длину) прижатой грани синего карандаша, считая от нижнего конца, запачкан краской. Желтый карандаш мальчик держит неподвижно, а синий, продолжая прижимать к желтому, опускает на 1 сантиметр, затем возвращает в прежнее положение, опять опускает на 1 сантиметр и опять возвращает в прежнее пележение; он так 10 раз опускает и 10 раз поднимает синий карандаш (20 движений).
Если допустить, что за это время краска не высыхает и не истощается, то на сколько сантиметров в длину окажется запачканным желтый карандаш после двадцатого движения?
Задача 3.
Эта старинная задача встречается в сочинениях XVIII века. Она имеет сказочное содержание.
Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека "никто никого не ел". Человек все-таки перевез свой груз через реку.
Как он это сделал?
Задача 4.
В токарном цехе завода вытачиваются детали из свинцовых заготовок. Из одной заготовки - деталь. Стружки, получившиеся при выделке 6 деталей, можно переплавить и приготовить еще одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из 36 свинцовых заготовок?
Задача 5.
Скорый поезд шел из Москвы в Петербург без остановок со скоростью 80 километров в час. Другой поезд тоже без остановок шел ему навстречу из Петербурга в Москву со скоростью 120 километров в час.
На каком расстоянии будут эти поезда за один час до их встречи?
Задача 6.
Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду веревочной лестницей вдоль борта. У лестницы 10 ступенек. Расстояние между ступеньками 30 сантиметров. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды. Океан сегодня очень спокоен, но начинается прилив, который поднимает воду за каждый час на 15 сантиметров.
Через сколько времени покроется водой третья ступенька веревочной лестницы?
Задача 7.
Как-то в один дом срочно попросили зайти часовщика. "Я болен, - ответил часовщик, - и не могу пойти. Но если починка несложная, я пришлю к вам своего ученика". Оказалось, что нужно заменить поломанные стрелки. "С этим мой ученик справится, - сказал мастер. - Он проверит механизм часов и подберет стрелки". Ученик отнесся к работе очень внимательно и тщательно отрегулировал механизм часов, но подходящих стрелок у него не нашлось. Тогда с согласия владельца часов юноша решил припаять отломившиеся кусочки стрелок и сделал это старательно. Закончив работу, он надел восстановленные стрелки и поставил их по своим часам: большую стрелку на цифру 12, а маленькую - на цифру 6 (было ровно шесть часов вечера).
Но вскоре после того, как ученик вернулся в мастерскую, чтобы сообщить мастеру, что работа выполнена, зазвонил телефон. Мальчик взял трубку и услышал сердитый голос заказчика: "Вы плохо исправили часы, они неправильно показывают время". Ученик мастера, удивленный этим сообщением, поспешил к заказчику. Когда он пришел, отремонтированные им часы показывали начало девятого. Ученик вынул свои часы и протянул их разгневанному хозяину дома: "Сверьте, пожалуйста. Ваши часы ни на секунду не отстают". Ошеломленный заказчик вынужден был согласиться, что его часы в данный момент действительно показывают правильное время.
Но на другой день утром заказчик опять позвонил и сказал, что стрелки часов, очевидно, сошли сума и разгуливают по циферблату, как им вздумается. Ученик мастера побежал к заказчику. Часы показывали начало восьмого. Сверив время по своим часам, он не на шутку рассердился: "Вы смеетесь надо мной! Ваши часы показывают точное время!"
Часы действительно показывали точное время. Возмущенный ученик мастера хотел тут же уйти, но хозяин удержал его. А через некоторое время они нашли причину столь невероятных происшествий.
Не догадались ли и вы, в чем тут дело?
Задача 8.
Есть ли в XX столетии такой год, что если его записать цифрами, а бумажку повернуть верхним краем вниз, то число, образовавшееся на повернутой бумажке, будет выражать тот же год?
Задача 9.
1. При помощи любых арифметических действий составьте число 100 из пяти единиц либо из пяти пятерок, причем из пяти пятерок 100 можно составить тремя способами.
2. Сколько надо поставить знаков "плюс" (+) между цифрами числа 987654321, чтобы в сумме получилось 99? Возможны два решения. Найти хотя бы одно из них нелегко, но зато вы приобретете опыт, который поможет вам быстро расставить знак "плюс" между семью числами 1234567 так, чтобы в сумме получилось 100 (расположение цифр изменять не разрешается). Многим удается и здесь получить два решения.
3. Пользуясь только сложением, запишите число 28 при помощи пяти двоек, а число 1000 - при помощи восьми восьмерок.
Задача 10.
Какой знак надо поставить между написанными рядом цифрами 2 и 3, чтобы получить число, большее 2, но меньшее 3?
Задача 11.
Небольшой воинский отряд подошел к реке, через которую необходимо переправиться. Мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг офицер замечает у берега двух мальчиков, забавляющихся в лодке. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков -не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Каким образом?
Решайте эту задачу "в уме" или практически, используя шашки, спички или что-либо в этом роде. Передвигайте их по столу через воображаемую реку.
Задача 12.
По автомагистрали Москва-Симферополь два спортсмена одновременно начали тренировочный велопробег навстречу друг другу. В тот момент, когда между велосипедистами осталось всего 300 километров, пробегом очень заинтересовалась одна любопытная муха. Слетев с плеча одного велосипедиста и опережая его, она помчалась навстречу другому. Встретив второго велосипедиста и убедившись, что все у него хорошо, она немедленно повернула обратно. Долетела муха до первого спортсмена и опять повернула ко второму.
Так она и летала между сближавшимися велосипедистами до тех пор, пока велосипедисты не встретились. Тогда муха успокоилась и села одному из них на нос. Муха летала между велосипедистами со скоростью 100 километров в час, а велосипедисты все это время ехали со скоростью 50 километров в час.
Сколько километров пролетела муха?
Задача 13.
У меня ручные часы в ремонте, а настенные остановились. Я отправился к своему знакомому, часы которого идут безукоризненно, узнал время и, не задерживаясь долго, вернулся домой. Дома я быстро произвел несложные вычисления и поставил стрелки часов в положение, соответствующее точному времени.
Как я действовал и как рассуждал, если предварительно мне не было известно, сколько времени занимает дорога?
Задача 14.
Шофер, посмотрев на счетчик спидометра своей машины, был поражен. Счетчик показывал число 15 951. Количество километров, пройденных машиной, выражалось симметричным числом, то есть таким, которое читалось одинаково как слева направо, так и справа налево: 15 951. "Занятно! - пробор мотал шофер. - Теперь не скоро, наверное, появится па счетчике другое симметричное число". Однако ровно через 2 часа счетчик показал новое число, которое тоже в обе стороны читалось одинаково.
Определите, с какой скоростью ехал эти два часа шофер?
Задача 15.
В выполнении срочного заказа по изготовлению измерительных приборов приняла участие бригада в составе бригадира - старого, опытного рабочего - и 9 молодых рабочих, только что окончивших училище. В течение дня каждый из юных рабочих смонтировал но 15 приборов, а бригадир - на 9 приборов больше, чем в среднем каждый из 10 членов бригады.
Сколько всего измерительных приборов было смонтировано бригадой за один рабочий день?
Задача 16.
Болельщик, огорченный поражением своей команды, спал беспокойно. Ему снилась большая квадратная комната без мебели. В комнате тренировался вратарь. Он ударял футбольным мячом о стену, а затем ловил его. Вдруг вратарь стал уменьшаться, уменьшаться и наконец превратился в маленький целлулоидный мячик для настольного тенниса, а футбольный мяч оказался чугунным шаром. Шар бешено кружился по гладкому полу комнаты, стремясь раздавить маленький мячик. Бедный мячик в отчаянии метался из стороны в сторону, выбиваясь из сил и не имея возможности подпрыгнуть.
Могли он, не отрываясь от пола, все-таки укрыться где-нибудь от преследований чугунного шара?
Задача 17.
Увидит Миша где-нибудь брошенного котенка, непременно подберет и принесет домой. Всегда воспитывается у него несколько котят, а сколько именно, он не любит говорить, чтобы над ним не смеялись. Бывало, спросят у пего: "Сколько у тебя котят?" - " Немного, - ответит он. - Три четверти их числа да еще три четверти одного котенка". Друзья думали, что он просто шутит. Л между тем Миша задавал им задачу, которую решить совсем нетрудно. Попытайтесь!
Задача 18.
Представьте себе деревянный куб со стороной 3 дециметра, вся поверхность которого окрашена в черный цвет, и ответьте на следующие вопросы.
1. Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной 1 дециметр?
2. Сколько получится таких кубиков?
3. Сколько кубиков будет иметь по 4 окрашенные стороны?
4. Сколько кубиков будет иметь по 3 окрашенные стороны?
5. Сколько кубиков будет иметь по 2 окрашенные стороны?
6. Сколько кубиков будет иметь 1 окрашенную сторону?
7. Сколько кубиков будет неокрашенных?
Задача 19.
Три брата получили 24 яблока, причем каждому досталось столько яблок, сколько ему было лет 3 года тому назад. Самый младший, мальчик очень смышленый, предложил братьям такой обмен яблоками: "Я, - сказал он, - оставлю себе только половину имеющихся у меня яблок, а остальные разделю между вами поровну; после этого наш средний брат тоже оставит себе половину, а остальные яблоки даст мне и старшему брату поровну, а затем и старший брат пусть оставит себе половину всех имеющихся у пего яблок, а остальные разделит между мной и средним братом поровну". Братья, не подозревая коварства в таком предложении, согласились удовлетворить желание младшего. В результате... у всех оказалось яблок поровну.
Сколько же лет было малышу и каждому брату в это время?
Задача 20.
Три охотника несколько дней подряд провели в тайге на охоте. В последний день охоты утром случилась неприятность: переходя вброд небольшую речушку, 2 охотника подмочили свои патронташи. Часть их патронов оказалась негодной к употреблению. Три друга поровну поделили между собой сохранившиеся патроны. После того как каждый охотник сделал 4 выстрела, у всех охотников вместе оказалось столько патронов, сколько было после дележа у каждого в отдельности.
Сколько всего пригодных патронов было в момент дележа?
Задача 21.
Мама поручила Вере перепечатать на машинке рукопись нового романа. "Я буду печатать в среднем по 20 страниц в день", - решила Вера. Но первую половину рукописи она печатала лениво, только по 10 страниц в день. Зато вторую полови ну она печатала по 30 страниц в день. "Вот и получилось в среднем 20 страниц в день", - сделала вывод Вера. "Ты неправильно считаешь", - сказала мама. "Как неправильно? 10 + 30 = 40; 40 / 2 = 20. На первой половине рукописи я не допечатывала по 10 страниц в день, а на второй я печатала больше средней нормы на те же 10 страниц", - ответила Вера. "Тем не менее, - настаивала мама, - в среднем ты печатала менее 20 страниц в день. Подумай-ка еще раз как следует".
Убедительны ли доводы Веры? Что показывает ваш расчет?
Задача 22.
Два спортсмена, тренируясь, одновременно начали лодочные гонки: один по реке, вниз и вверх по течению, а другой на такое же расстояние по озеру со стоячей водой, расположенному рядом с рекой.
Допустим, что усилия обоих гребцов все время были совершенно одинаковы. Который из них вернется раньше? Время, затрачиваемое на поворот, в расчет не принимается.
Задача 23.
Два господина - один на лошади, другой на машине - выехали одновременно из деревни в город. Один из них молодой, другой пожилой. Через некоторое время выяснилось, что если бы пожилой проехал расстояние втрое больше, то осталось бы ему ехать вдвое меньше. Если бы молодой проехал расстояние вдвое меньшее, то осталось бы ехать втрое больше.
Сообразите, кто из них ехал на лошади - пожилой или молодой?
Задача 24.
Два мотоциклиста выехали одновременно из одного и того же места на прогулку. Оба проехали одинаковое расстояние и вернулись домой в одно и то же время. В пути мотоциклисты отдыхали. При этом известно, что один из них ехал вдвое больше времени, чем отдыхал другой, второй ехал втрое больше времени, чем отдыхал первый.
Кто из мотоциклистов ехал быстрее?
Задача 25.
В мастерскую принесли четверо часов: стенные, настольные, будильник и наручные. Стенные часы по сравнению с сигналом точного времени отстают на 2 минуты в час. Настольные часы по сравнению с сигналом точного времени спешат на 2 минуты в час. Будильник по сравнению с настольными отстает на 2 минуты в час. Ручные по сравнению с будильником идут вперед на 2 минуты в час. В 12 часов все часы были поставлены по сигналу точного времени.
Который час покажут наручные часы в 19 часов в момент сигнала точного времени?
Задача 26.
Двум мальчикам необходимо совершить небольшое путешествие на велосипедах. В пути у одного из них поломался велосипед, и пришлось его оставить для починки. Но мальчики решили не прерывать своего путешествия и продолжать его отчасти пешком, отчасти на велосипеде следующим образом.
Отправляются одновременно оба: один на велосипеде, другой пешком. В известном месте велосипедист оставит велосипед и будет продолжать свой путь пешком. Его спутник, дойдя до условленного места, сядет на велосипед и в тот момент, когда догонит своего товарища, вновь уступит ему велосипед, сам же будет продолжать идти пешком.
На каком расстоянии от конечного пункта их путешествия следует оставить велосипед в последний раз, чтобы оба мальчика одновременно достигли конечного пункта, если от места аварии до цели им осталось 60 километров; пешком они передвигаются со скоростью 5 километров в час, а на велосипеде - со скоростью 15 километров в час.
Был ли выгодным для мальчиков такой способ передвижения?
Задача 27.
Я вошел в комнату, чтобы взять из шкафа свои ботинки и носки. В комнате спала сестра, и было совсем темно. Я хорошо знал, в каком месте шкафа находятся мои 3 пары ботинок - все разных фасонов - и 12 пар носков - черных и коричневых. Мне не хотелось зажигать свет, чтобы не разбудить сестру. Действительно, как ботинки, так и носки я обнаружил на своих местах, но, должен признаться, в беспорядке - просто груду из 6 ботинок и кучу из 24 носков.
Сколько ботинок и сколько носков (самое меньшее) мне надо вынести из темной комнаты в светлую, чтобы обеспечить себя парой ботинок одного фасона и парой носков одного цвета, при этом фасон обуви и цвет носков были мне безразличны?
Задача 28.
В ящике перемешаны яблоки 3 сортов. Каково наименьшее количество яблок, которое надо взять наугад из ящика, не заглядывая в него, чтобы среди вынутых яблок оказались:
• хотя бы 2 яблока одного сорта;
• хотя бы 3 яблока одного сорта.
Задача 29.
Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет ясная и солнечная погода?
Задача 30.
Продавец подсчитал, что за карандаши, общие тетради и цветную бумагу девочка должна уплатить в кассу 1 рубль 70 копеек. Направляясь к кассе, девочка прикинула: "Я беру 2 карандаша по 2 копейки и 5 карандашей по 4 копейки, 8 общих тетрадей и 12 листов цветной бумаги. Цену тетрадей и бумаги я не помню, тем не менее мне ясно, что вся покупка не может стоить 1 рубль 70 копеек". Девочка вернулась и вместе с продавцом пересчитала сумму, которая действительно оказалась несколько иной.
Как девочка установила ошибку в первоначальном подсчете?
Задача 31.
В купе одного из вагонов поезда Москва-Одесса ехали москвич, петербуржец, туляк, киевлянин, харьковчанин и одессит. Их фамилии начинались буквами А, Б, В, Г, Д, Е. В дороге выяснилось, что А и москвич - врачи; Д и петербуржец -учителя, а туляк и В - инженеры. Б и ? - участники Отечественной войны, а туляк в армии совсем не служил. Харьковчанин старше А, одессит старше В. Б и москвич сошли в Киеве, а В и харьковчанин - в Виннице.
Определите профессию и место жительства каждого из них.
Задача 32.
Перед началом учебного года школьники организовывали воскресник по заготовке дров для школы. Шестеро из них взялись за распиловку кругляков разной длины на полуметровые отрезки. Ребята разбились на 3 пары. Один из каждой пары считался бригадиром. Бригадиров звали Володя, Петя и Вася. Володя с Мишей пилили двухметровые кругляки средней толщины. Петя с Костей - полуметровые кругляки несколько большей толщины, чем двухметровые. Вася с Федей пилили метровые, очень толстые кругляки. На другой день в школьной стенной газете была отмечена хорошая работа 3 бригад пильщиков: Лаврова, Галкина и Медведева. Сообщалось, что Лавров и Котов напилили 26 штук кругляков, Галкин и Пастухов - 27 штук, Медведев и Евдокимов - 28 штук.
Как зовут Пастухова?
Задача 33.
В поезде Москва-Ярославль едут пассажиры Иванов, Петров и Сидоров. Такие же фамилии имеют машинист, электрик, конструктор поездной бригады. Известно, что пассажир Иванов живет в Москве; кондуктор живет на полпути от Москвы до Ярославля; пассажир, однофамилец кондуктора, живет в Ярославле; пассажир, живущий ближе к месту жительства кондуктора, чем другие пассажиры, точно втрое старше кондуктора; пассажиру Петрову в тот день исполнилось ровно 20 лет; Сидоров (из бригады) недавно выиграл у электрика партию на бильярде.
Какая фамилия у машиниста?
Задача 34.
У учительницы одной из начальных школ штата Нью-Йорк пропал кошелек. Украсть кошелек мог только кто-нибудь из пяти учеников: Лилиан, Джуди, Дэвид, Тео или Маргарет.
При опросе этих детей каждый дал по три показания:
Лилиан:
1) я не брала кошелек;
2) я никогда в своей жизни ничего не воровала;
3) это сделал Тео.
Джуди:
1) я не брала кошелек;
2) мой папа достаточно богат, и я имею свой собственный кошелек;
3) Маргарет знает, кто это сделал.
Дэвид:
1) я не брал кошелек;
2) с Маргарет я не был знаком до поступления в школу;
3) это сделал Тео.
Тео:
1) я не виновен;
2) это сделала Маргарет;
3) Лилиан лжет, утверждая, что я украл кошелек.
Маргарет:
1) я не брала кошелек учительницы;
2) в этом виновата Джуди;
3) Дэвид может поручиться за меня, так как знает меня со дня рождения.
При дальнейшем расспрашивании каждый из учеников признал, что из сделанных им трех заявлений два верных и одно неверное.
Определите, кто из учеников украл кошелек своей учительницы?
Задача 35.
Вряд ли в действительности может возникнуть необходимость искать среди одинаковых монет фальшивую при помощи взвешиваний на чашечных весах без гирь, но ради тренировки своей мысли примем эти условия как исходные для решения следующих двух задач "на рассуждения".
Имеется 9 монет одинакового достоинства. Известно, что 8 из них имеют одинаковый вес, а одна - фальшивая - немного легче остальных. Требуется при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету.
При тех же условиях выделить фальшивую (более легкую) монету из 8 одинаковых монет тоже при помощи взвешиваний.
Задача 36.
Утомившись от споров и летнего зноя, три древнегреческих философа прилегли немного отдохнуть под деревом сада Академии и уснули. Пока они спали, шутники испачкали углем их лбы. Проснувшись и взглянув друг на друга, все пришли в веселое настроение и начали смеяться, но это никого не тревожило, так как каждому казалось естественным, что двое других смеются друг над другом. Внезапно один из мудрецов перестал смеяться, так как он сообразил, что его собственный лоб также запачкан.
Как он рассуждал?
Задача 37.
У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?
Задача 38.
Представьте себе, что ваш друг загадал некоторое целое число в промежутке от 1 до 1000. Чтобы угадать задуманное число, вы будете задавать вопросы. Условимся, что на все вопросы ваш друг будет отвечать только "да" или "нет".
Может показаться невероятным, что достаточно всего лишь десяти вопросов, чтобы наверняка отгадать любое задуманное целое число в промежутке от 1 до 1000. Однако это так.
Сообразите, какие вопросы надо задавать.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ЧУТЬ ПОПОЗЖЕ
Николай Петрович
12.12.2014, 15:25
Если бы я опять стал школьником и меня вызвали к доске, я ответил бы так.
Рассмотрим систему в процессе её постепенного усложнения. Системой я называю равноплечий рычаг весов и всё, что на нём. Пока в сосудах нет шариков, весы находятся в равновесии.
Положим в левый сосуд шарик для пинг-понга. На левую чашу весов теперь давит вес воды плюс вес шарика, поэтому левая чаша опустится.
Погрузим шарик в воду и привяжем его ниткой ко дну. На левую чашу весов давит то же, что и раньше: вес сосуда, вес воды, вес шарика. Внешних сил к левой чаше мы не прикладываем. Закон Архимеда действует, шарик тянет дно сосуда вверх, но и дно сосуда тянет шарик вниз. Сила действия равна и противоположна силе противодействия, а поскольку эти силы приложены к разным частям одной и той же подсистемы "левый сосуд" и состав этой системы неизменен, то от того, что мы утопили шарик и привязали его ко дну, по большому счёту ничего не меняется в системе.
Пока стальной шарик, висящий на нити, не опущен в воду в правом сосуде, на нить действует растягивающее усилие, равное весу шарика. Опустим шарик в воду. Теперь от падения шарик удерживают две силы: сила натяжения нити и сила, возникшая по закону Архимеда - выталкивающая сила. Вода давит на шарик, пытаясь его вытолкнуть вверх, назовём эту силу силой действия. Со стороны шарика сила противодействия давит на воду, и эта сила является внешней по отношению к подсистеме "правый сосуд" (и к системе "равноплечий рычаг"). Вот она-то и заставит правую чашу весов опуститься под действием значительно большей силы, чем вес шарика в левом сосуде.
Доказательство можно варьировать, привлекая следующие соображения.
1. Когда мы опустим шарик в воду, уровень воды в сосуде поднимется, а известно, что чем выше столб жидкости, тем сильнее она давит на дно сосуда.
2. Кронштейн, на котором висит стальной шарик, поставим на чашу вторых весов, для простоты - пружинных. Заметим, какой вес они показывают. Теперь опустим вторые весы так, чтобы стальной шарик оказался погружённым в воду в правом сосуде.
3. Временно отступим от условия задачи и заменим стальной шарик шариком для пинг-понга, заполненным водой. Опускать такой шарик почти то же самое, что доливать в сосуд воду.
Взрослые! Извините за такую скукотищу, но я уверен, что и моё решение задачи найдёт своего читателя. Я писал в расчёте на школьников.
Квадраты чисел еще не означают равенство самих чисел, одно из них может быть и отрицательным.
и наклоняет весы направо.
Со стороны водителя - парковка 87!!! Вот, после встречи нового года всё же смогла отгадать ...