Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь
Полная версия этой страницы: Два мотоциклиста на прогулке
ФОРУМ Клуба Второе дыхание > Мозги обязаны трудиться > Задачи
Николай Петрович
Два мотоциклиста выехали одновременно из одного и того же места на прогулку. Оба проехали одинаковое расстояние и вернулись домой в одно и то же время. В пути мотоциклисты отдыхали. При этом известно, что один из них ехал вдвое больше времени, чем отдыхал другой, второй ехал втрое больше времени, чем отдыхал первый.

Кто из мотоциклистов ехал быстрее?


Введём обозначения временных интервалов, буквы для них позаимствуем у слов «движение» и «стоянка».

Время движения первого мотоциклиста — Д1
Время его отдыха — С1
Время движения второго мотоциклиста— Д2
Время его отдыха — С2

Наша цель — получить соотношение между Д1 и Д2.

Время, проведённое мотоциклистами на трассе, одинаково:

Д11 = Д22 (1)
Первый двигался вдвое дольше, чем стоял второй:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Второй двигался втрое дольше, чем стоял первый:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла

В левую часть (1) подставляем (3), а в правую часть — (2):
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
откуда следует, что Д2 меньше Д1. Второй мотоциклист ехал меньше времени, чем первый, но проехал то же расстояние, что и первый, значит, второй мотоциклист ехал быстрее.

О количественном соотношении скоростей вопрос нас не спрашивали, просто был применён самый универсальный способ решения. Другой способ получения ответа помещён в следующем сообщении.
Татиана
Учитывая, что в математике есть четкие обозначения скорости, времени и длины пути,.А именно- V, t, l , я решала задачу со своими обозначениями. И могу точно сказать, что Николаем Петровичем задача решена АБСОЛЮТНО правильно! Поэтому своё решение не помещаю, дабы не повторяться. А второй вариант решения жду с удовольствием, очень интересно!
Николай Петрович
Извините мне моё русофильство, вторгшееся в пределы математики, но с латинскими обозначениями я не придумал ничего, кроме букв с двумя индексами: tД1, tС1, tД2, tC2. Наличие двух индексов мне не понравилось, кроме того, я не люблю смесь «французского с нижегородским» типа «Глюкоzа» и «Ума2рман». Я не знал, какими латинскими буквами обозначить движение и отдых.
Татиана
Да какая разница какими буквами обозначены величины. Главное, что решение верное. И не на уроке математики мы в конце концов.
Николай Петрович
Это история моих догадок, поэтому буду в тексте употреблять «я».
В условии говорится об отрезках времени, поэтому нарисую два отрезка. О масштабе пока не задумываюсь, поэтому рисую отрезки одинаковой длины.
Обозначения прежние:
Время движения первого мотоциклиста — Д1
Время отдыха первого — С1
Время движения второго мотоциклиста— Д2
Время отдыха второго — С2

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

« один из них ехал вдвое больше времени, чем отдыхал другой» — верхний отрезок разделён в отношении 2 к 1.
«второй ехал втрое больше времени, чем отдыхал первый» — нижний отрезок разделён в отношении 3 к 1.

Пусть эти отрезки равны и помещены один под другим, но это сделано произвольно. На одном отрезке масштаб времени один, на другом — другой, потому что по условию задачи одинаковыми являются не суммы Д12 и Д21, а суммы Д11 и Д22. А хочется, чтобы масштабы были одинаковы.


Поэтому предлагаю рассмотреть вспомогательную задачу.
Предположим, что следующую прогулку мотоциклисты совершили как друзья: вместе ехали и вместе отдыхали. Один ехал несколько быстрее, чем в прошлый раз, а другой — несколько медленнее. Возьму наугад число 2,5 — это отношение времени их движения ко времени отдыха.

Отрезки, соответствующие этому случаю, будут такими:

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

По инерции мышления я всё ещё рассматриваю верхний отрезок как отображение суммы Д12 и поэтому ищу возможность так усовершенствовать рисунок 2, чтобы он более удобно отображал равенство Д11 = Д22 (1). А то сейчас для определения суммы времени движения и стоянки приходится прыгать с одного уровня на другой.
Для этого поворачиваю нижний отрезок на 180 градусов...

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

...и только теперь вспоминаю, что С2=С1. На рисунке 3 меняю местами обозначения С1 и С2 и получаю рисунок 4.

Нажмите для просмотра прикрепленного файла


Рис. 4 удобно отображает все условия вспомогательной задачи:
○ кроме того, что верхний и нижний отрезки, равны, они составлены из отрезков времени, относящихся к одному и тому же мотоциклисту, и потому они имеют одинаковый масштаб;
○ равенство этих отрезков показано тем, что они являются противоположными сторонами параллелограмма;
○ если спроецировать С2 на Д1, то можно видеть, во сколько раз Д1 больше С2, так же удобно сравнивать С1 и Д2.

Теперь постараемся так изменить рисунок 4, чтобы он соответствовал величинам, содержащимся в условии основной задачи.

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Пунктирную линию, делящую отрезки времени на части, я сдвинул вправо так, чтобы она в новом положении (оно на рис. 5 показано зелёным цветом) сделало отношение Д2 к C1 равным 3. Одновременно уменьшилось отношение Д1 к С2. Такой рисунок позволяет найти ответ на поставленный вопрос.
Видно, что Д2 меньше Д1, это означает, что, сдвинув линию, мы предположили, что второй мотоциклист проехал всё расстояние за меньшее время, чем первый, и, следовательно, ехал с большей скоростью. Кроме того, сдвигом линии мы сделали отношение Д2 к C1 бóльшим, чем отношение Д1 к C2, что совпадает с условием задачи. Мы получили подтверждение тому, что быстрее ехал второй мотоциклист.

Если бы вместо 2,5 было взято другое число, то получилась бы трапеция с другими углами. Это и есть та степень свободы, которая позволяет так выбрать отношение времени движения ко времени стоянки мотоциклистов при их «дружеской» прогулке, чтобы модификация рисунка 5 соответствовала всем числам, содержащимся в условии.
Но неожиданно для меня модифицировать рисунок не потребовалось. На нём с достаточной точностью отношение Д1 к C2 равно двум.
Татиана
Интересно!
Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.
Форум IP.Board © 2001-2024 IPS, Inc.