Один — на велосипеде, другой — пешком, «Софизмы, ребусы...». Сообщение #8. Задача 26. Решение и ответ Опции

[Николай Петрович]

Задача 26.

Двум мальчикам необходимо совершить небольшое путешествие на велосипедах. В пути у одного из них поломался велосипед, и пришлось его оставить для починки. Но мальчики решили не прерывать своего путешествия и продолжать его отчасти пешком, отчасти на велосипеде следующим образом.

Отправляются одновременно оба: один на велосипеде, другой пешком. В известном месте велосипедист оставит велосипед и будет продолжать свой путь пешком. Его спутник, дойдя до условленного места, сядет на велосипед и в тот момент, когда догонит своего товарища, вновь уступит ему велосипед, сам же будет продолжать идти пешком.

На каком расстоянии от конечного пункта их путешествия следует оставить велосипед в последний раз, чтобы оба мальчика одновременно достигли конечного пункта, если от места аварии до цели им осталось 60 километров; пешком они передвигаются со скоростью 5 километров в час, а на велосипеде - со скоростью 15 километров в час.

Был ли выгодным для мальчиков такой способ передвижения?

Ответ на второй вопрос: если сравнивать с вариантом, когда они не пользовались бы оставшимся велосипедом, то да, был выгодным, потому что каждый из них часть пути проехал на велосипеде. А как ещё понимать этот вопрос? Почему один мальчик не вёз другого, посадив его на багажник над задним колесом или на раму?

Я не смогу в точности описать, как я нашёл правильный путь решения задачи. Приблизительно так.
Сначала возникла мысль: если задано, что мальчики должны преодолеть один и тот же путь и за одно и то же время, то средние скорости их передвижения должны быть одинаковы. Эта мысль не нашла у меня продолжения. Поскольку я думал, что пересадок у мальчиков будет несколько, я решил рассмотреть процесс перемещения мальчиков в течение одного цикла (от момента посадки первого из них на велосипед до момента, когда его догонит на велосипеде второй) без привязки к конкретным расстояниям.

1. Первый мальчик садится на велосипед и едет. Второй мальчик проходит N километров, за это время первый мальчик проезжает 3N км и оставляет велосипед на дороге. Расстояние между мальчиками в этот момент – 2N км, первый мальчик впереди второго.
2. Оба мальчика идут: первый – к тому месту, где ему будет оставлен велосипед, второй – к оставленному на расстоянии 2N км от него велосипеду,. Расстояние между мальчиками не изменяется.
2а. С момента раздельного движения мальчики преодолели путь: первый — 5N км, второй — 3N км, и в этот момент первый мальчик подошёл к оставленному велосипеду. Теперь он может догонять и, если захочет, перегонять второго мальчика.
3. Второй мальчик садится на велосипед и догоняет первого; расстояние между ними сокращается с той же скоростью, с которой оно увеличивалось на первом этапе цикла. Поэтому второму мальчику для того, чтобы догнать первого, требуется проехать 3N км. Между прочим, когда первый мальчик догонит второго, будет как раз тот момент, когда их средние скорости равны.
А дальше этот цикл — от посадки на велосипед одного из мальчиков до момента, когда его догонит на велосипеде другой — можно повторять. А можно и не повторять, а сделать так, чтобы один цикл занял весь путь, который им нужно преодолеть.
При этом, если мальчики хотят одновременно достичь конечного пункта путешествия, у отставшего должно быть столько же времени для того, чтобы догнать, сколько было у обогнавшего, когда он ехал на велосипеде. Это то же самое, что дать отставшему возможность проехать на велосипеде то же расстояние, которое до него проехал обогнавший.
Значит, пеший мальчик должен получить велосипед тогда, когда он пройдёт половину оставшегося ему пути.
Ответ: можно один единственный раз оставить велосипед на расстояниии 30 километров от конечного пункта путешествия, а можно несколько раз уезжать вперёд и затем оказываться вровень с отставшим, но с самого начала пути следует придерживаться правила: севший на велосипед должен проехать расстояние, не большее половины оставшегося им обоим пути.
Заметьте, что для получения этого ответа не обязательно было знать, во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости пешего.
Привожу графики движения мальчиков с учётом величин, содержащихся в условии задачи. Зелёная линия — график движения мальчика, названного в условии задачи «один», а в моём тексте — «первый».