Частично окрашенные кубики, «Софизмы, ребусы...». Сообщение #8. Задача 18. Решение и ответы. Опции

[Николай Петрович]

Представьте себе деревянный куб со стороной 3 дециметра, вся поверхность которого окрашена в черный цвет, и ответьте на следующие вопросы.

1. Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной 1 дециметр?
2. Сколько получится таких кубиков?
3. Сколько кубиков будет иметь по 4 окрашенные стороны?
4. Сколько кубиков будет иметь по 3 окрашенные стороны?
5. Сколько кубиков будет иметь по 2 окрашенные стороны?
6. Сколько кубиков будет иметь 1 окрашенную сторону?
7. Сколько кубиков будет неокрашенных?



Кубик Рубика, если он у вас есть — хорошее наглядное пособие для решения этой задачи или для лучшего понимания помещённых ниже ответов.
В ответах слово «сторона» заменено словом «грань».

1. Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики с длиной рёбер 1 дециметр?

Чтобы разделить куб на три слоя, потребуется 2 горизонтальных разреза; чтобы разделить одновременно все слои на три столбика каждый, потребуется 2 вертикальных разреза; чтобы разделить одновременно все столбики на кубики, потребуется 2 вертикальных (в другом направлении) разреза, итого 6 разрезов.


2. Сколько получится таких кубиков?

3 столбика по 3 кубика, 3 слоя по 3 столбика, итого 27 кубиков.



3. Сколько кубиков будет иметь по 4 окрашенные грани? Ни одного, потому что:

Все кубики получены путём распиливания, а каждое распиливание — это создание неокрашенных плоскостей. Из первых двух распиливаний по крайней мере одно коснулось каждого из слоёв и, следовательно, каждого из будущих кубиков. Из следующих двух распиливаний по крайней мере одно коснулось каждого из столбиков и, следовательно, каждого из будущих кубиков. Из последних двух распиливаний по крайней мере одно коснулось каждого кубика. Значит, у каждого кубика есть по крайней мере три грани, созданные путём распиливания, то есть, по крайней мере три неокрашенные грани. Всего же у кубика шесть граней. Значит, максимальное количество окрашенных граней у кубика равно трём.
Можно рассуждать по-другому. Представим себе куб, на который нанесены линии на местах распиливания. Легче всего вообразить будущие кубики в вершинах куба, где сходятся три грани куба. Их восемь: четыре сверху и четыре снизу. Никакие другие будущие кубики не имеют такого или большего количества окрашенных граней. У любого кубика шесть граней. У этих восьми по три окрашенных грани, и распиливание не добавляет окраски, значит, максимальное количество окрашенных граней у этих восьми кубиков равно трём.


4. Сколько кубиков будет иметь по 3 окрашенные грани? См. выше


5. Сколько кубиков будет иметь по 2 окрашенные грани?

Так окрашены кубики, которые до рассыпания распиленного куба были средними в тройках, образовывавших рёбра куба, а рёбер у него было четыре снизу, четыре сверху и четыре вертикальных, итого 12 кубиков.


6. Сколько кубиков будет иметь 1 окрашенную грань?


Так окрашен один центральный кубик из каждых девяти, составлявших грани куба до его рассыпания, а у него было граней одна снизу, одна сверху и четыре боковых; итого 6 кубиков.


7. Сколько кубиков будет неокрашенных?

Один, который был в центре куба.