IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

Активные темы за последние сутки
Новые сообщения с Вашего последнего посещения
Главная страница форума
ТЭТА+БЭТА=ГАММА
Николай Петрович
сообщение 24.4.2018, 11:34
Сообщение #1


Я такой же, как все: я не похож ни на кого другого.


Группа: Пользователь
Сообщений: 2751
Регистрация: 7.10.2014
Из: Москва
Пользователь №: 2324



Условие задачи помещено в теме «Софизмы, ребусы...».
Там же помещено одно из описаний решения этой задачи.

Первое сообщение в этой теме — окончание моего ответа.


Почему-то в «ОТВЕТЫ@mail.ru» по большей части публикуются не решения (то есть, не способы решения), а готовые ответы.

Пользователь ~ПсИхОнУтОе СоЛнЦе~ дал ответ на эту задачу, совпадающий с моим, однако не привёл решение.

Такой же ответ у пользователя карАпуз, и тоже без описания решения.

Пользователь Карен совсем кратко намечает ход решения:
«Укажу верный ответ: ТЭТА=4940, БЭТА=5940, ГАММА=10880.
Сразу определяется, что А=0, Г=1, затем, последовательно исключая цифры: 2,3 и 7 и перебирая оставшиеся немногочисленные варианты, получаем, действительно, единственный верный ответ».

Пользователь Vlad привёл и ответ, и решение, ответ тоже совпадает с моим.

Во ВКонтакте пользователь Евгений Лысяк подробно изложил своё решение и получил тот же ответ.

На сайте «Логические задачи» нашли одно решение, но дальше просьбы ведущего доказать, что это единственно возможное решение, дело не пошло.

Vlad, как и я, был уверен, что это единственно правильный вариант ответа. Но пользователь Наталия Тузина кратко изложила своё решение, из которого она получила другой ответ 3830 + 6830 = 10660, удовлетворяющий условию задачи.

Вот этого я не ожидал. Откладываю опубликование своего решения. Есть над чем подумать.
Перейти в начало страницы
 
+Цитировать сообщение
 
Начать новую тему
Ответов (1 - 5)
Татиана
сообщение 24.4.2018, 21:25
Сообщение #2


Активный участник


Группа: Пользователь
Сообщений: 806
Регистрация: 28.8.2015
Из: Москва
Пользователь №: 2757



Очень интересно! А кто эти пользователи? Это Вы, Николай Петрович, где их нашли? Жду решения.
Перейти в начало страницы
 
+Цитировать сообщение
Николай Петрович
сообщение 26.4.2018, 13:09
Сообщение #3


Я такой же, как все: я не похож ни на кого другого.


Группа: Пользователь
Сообщений: 2751
Регистрация: 7.10.2014
Из: Москва
Пользователь №: 2324



По запросу «ТЭТА+БЭТА=ГАММА» поисковик выдал мне много ссылок на решения и ответы. Среди ответов увидел и неверные, я не стал их здесь упоминать, кроме одного, который проверил недостаточно внимательно в верность которого поверил. Но сейчас я уверен, что написанное мною решение правильно и что найденный Вами, Татиана, и мною ответ является единственным.

Сегодня я поместил на сайте «Логические задачи» обоснование единственности ответа. В ближайшее время помещу здесь своё решение задачи вместе с упомянутым обоснованием.
Перейти в начало страницы
 
+Цитировать сообщение
Татиана
сообщение 26.4.2018, 14:26
Сообщение #4


Активный участник


Группа: Пользователь
Сообщений: 806
Регистрация: 28.8.2015
Из: Москва
Пользователь №: 2757



Браво, Николай Петрович! Это я по поводу Вашего обоснования.
Перейти в начало страницы
 
+Цитировать сообщение
Николай Петрович
сообщение 26.4.2018, 22:00
Сообщение #5


Я такой же, как все: я не похож ни на кого другого.


Группа: Пользователь
Сообщений: 2751
Регистрация: 7.10.2014
Из: Москва
Пользователь №: 2324



Цитата(Татиана @ 26.4.2018, 15:26) *
Браво, Николай Петрович! Это я по поводу Вашего обоснования.
Повторюсь, дисциплиной мышления я обязан учителю математики Чернову, он учил нас, когда я был в шестом классе.
Если не ошибаюсь, учителя звали Михаил Иванович. В нашем классе училась его дочь Галина.
Перейти в начало страницы
 
+Цитировать сообщение
Николай Петрович
сообщение 28.4.2018, 21:00
Сообщение #6


Я такой же, как все: я не похож ни на кого другого.


Группа: Пользователь
Сообщений: 2751
Регистрация: 7.10.2014
Из: Москва
Пользователь №: 2324



Дан числовой ребус: ТЭТА+БЭТА=ГАММА. Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым — одинаковые.
Найдите все его решения и докажите, что других нет.


Решением иногда, как в данном случае, называют ответ на заданный вопрос. А для меня главное — описание пути (последовательности) решения, поэтому ответом я называю результат решения, а решением называю путь (способ) получения ответа.

Татиана опубликовала одно из решений. Приведённое ниже решение значительно длиннее, потому что сначала описан способ, которым можно решать все задачи такого типа, а затем подробно описано применение этого способа.


Описание способа решения

В процесе решения будем делать все возможные предположения и отбирать из них все правильные. Это, по-моему, является залогом того, что будут найдены все решения. Требование доказательства того, что других решений нет, по-моему, является излишним.

Нам потребуется свободно оперировать правилом сложения. То, что написано на этой странице во втором абзаце, является не правилом сложения, я лишь напоминанием его.

Опишем подробнее сложение для частного случая — сложения двух многоразрядных чисел. К нему относится данный числовой ребус (в дальнейшем называю его задачей).
Изобразим схематично некоторый обобщённый пример и рассмотрим действия над одним из разрядов.
Прикрепленное изображение
Складывая два многоразрядных числа, записанных одно под другим, и занимаясь последовательно каждым из разрядов, начиная с разряда единиц, мы проделываем с разрядом следующее:
1. Суммируем числа a и b, взятые из этого разряда слагаемых.
2. Смотрим, пришла ли из предыдущего разряда единица переноса. Если пришла, то учитываем её как ещё одно слагаемое.
То есть, выполняем одно из двух действий: a+b= или a+b+1.
3. Смотрим, сколько разрядов в полученном числе. Если один, то цифру записываем в одноимённый разряд ответа.
Если разрядов два, то цифру младшего разряда записываем в одноимённый разряд ответа, а единицу старшего разряда переносим в следующий разряд.
При сложении двух многоразрядных чисел в любом из разрядов может образовываться только одна единица переноса, в чём легко убедиться.

Решить предложенную задачу нам поможет предположение о том, как автор составил эту задачу.
Он взял два четырёхразрядных числа, записал их в столбик и стал складывать способом, описанным выше. Перенести ли в старший разряд единицу — зависело уже не от автора, а от цифр соответствующего разряда. Поэтому следует предположить, что после замены цифр буквами в задаче остались следы переноса единиц в старшие разряды.
Эти единицы переноса мы будем искать для того, чтобы узнать, по типу какого из четырёх уравнений автор производил сложение цифр в том или ином разряде.

1. Если в разряд не пришла единица переноса из предыдущего разряда и если сумма a и b — одноразрядное число, то сложение производилось по типу уравнения a+b=c.

2. Если в разряд пришла единица переноса и сумма a и b — одноразрядное число, то сложение производилось по типу уравнения a+b+1=c.

3. Если в разряд не пришла единица переноса, а сумма a и b — двухразрядное число, то тип уравнения — a+b=10+c, которое десяткой в правой части показывает, что в следующий разряд уходит единица переноса.

4. Если в разряд пришла единица переноса и если сумма a и b — двухразрядное число, то цифры в разряде складывали по типу a+b+1=10+c; из такого разряда в следующий тоже уходит единица переноса.



Решение задачи

Прикрепленное изображение
Начнём с соображения, применимого к любой задаче такого типа: в разряд единиц не может прийти единица переноса.
Поэтому можно утверждать, что сложение в разряде единиц производилось по типу либо a+b=c, либо a+b=10+c. Подставляя в них буквы из условия задачи (в данном случае это одна буква А), имеем: А+А=А и А+А=10+А.

Предположим, что правильно уравнение А+А=А. Удваиваем число, а оно остаётся тем же? С числами так не бывает, так бывает только с нулём. Недаром математики говорят, что нуль — не число.

Теперь предположим, что правильно уравнение А+А=10+А. Вычтем А из левой и правой частей — получится А=10. Но А соответствует только одной цифре, значит, это предположение неправильное. Значит, буквой А обозначен нуль.
То есть, в разряде единиц просто ничего не содержалось, и в разряд десятков единица переноса не поступала.

Всё, что будем узнавать о значениях букв, будем отражать в постоянно обновляемой таблице. Прочерк означает, что буква не может иметь такого значения.

Прикрепленное изображение


Заменим А нулём в условии задачи и рассмотрим разряд тысяч

Прикрепленное изображение
Оба слагаемых — четырёхразрядные, а сумма — пятиразрядная, в ней появился разряд десятков тысяч, представленный буквой Г. Значит, Г — это единица переноса из разряда тысяч; Г=1.

Прикрепленное изображение


Перепишем задачу, учтя, что Г=1:
Прикрепленное изображение
Поскольку из разряда тысяч ушла единица переноса, сложение в этом разряде производилось по типу либо a+b=10+c, либо a+b+1=10+c.
Это значит, что разряду тысяч соответствует либо уравнение Т+Б=10 (если единица переноса не приходила в этот разряд), либо уравнение Т+Б+1=10 (если единица переноса приходила), которое напишем в виде Т+Б=9.

Эти уравнения говорят, что чем меньше Т, тем больше должно быть Б.
Т не может быть меньше 2, потому что единица и ноль соответствуют другим буквам, тогда из уравнения Т+Б=10 следует, что Б не может быть больше 8, а из уравнения Т+Б=9 — что Б не больше 7. Сейчас мы не знаем, какое из этих уравнений правильное, но они оба дают право утверждать, что букве Б не может соответствовать цифра 9.

Точно такими же рассуждениями можно прийти к выводу, что букве Т не может соответствовать цифра 9.

Прикрепленное изображение

Займёмся разрядом десятков.

Прикрепленное изображение
Известно, что единица переноса в этот разряд не поступала, поэтому ему может соответствовать либо уравнение Т+Т=М, либо уравнение Т+Т=10+М. Перепишем их так: 2Т=М; 2Т=10+М. Сейчас мы не знаем, какое из них правильное, зато оба они говорят об одном и том же: М — чётное число.

Прикрепленное изображение

Из того, что девятка стоит только в строке, относящейся к букве Э, нельзя сделать вывод, что эта буква соответствует числу 9. Буква Э может соответствовать также любому числу от 2 до 8. Мы имеем четыре буквы, значений которых мы не знаем, и семь цифр, которые могут соответствовать этим буквам, поэтому на данный момент не исключено, что девятка окажется невостребованной. Я допустил эту ошибку, когда решал задачу: необоснованно присвоил Э значение 9. Ошибку обнаружил только при редактировании решения.

Рассмотрим разряд сотен

Прикрепленное изображение
Здесь тоже имеем два одинаковых слагаемых, поэтому разряду сотен могут соответствовать четыре уравнения: 2Э=М, 2Э=10+М, 2Э+1=М и 2Э+1=10+М.
Обратим внимание на третье и четвёртое уравнения. В их левых частях стоит нечётное число, потому что при любом значении Э выражение 2Э+1 является нечётным числом. Между тем в правых частях стоят М и 10+М, а это чётные числа. Следовательно, третье и четвёртое уравнения неправильны, а правильно либо 2Э=М, либо 2Э=10+М. Это первый вывод, на котором основываются ближайшие последующие рассуждения, а второй вывод — в разряд сотен не приходила и из разряда десятков не уходила единица переноса.

Теперь можно возвратиться к уравнениям 2Т=М и 2Т=10+М, соответствующим разряду десятков, и утверждать, что правильным является уравнение 2Т=М.

Рассмотрим совместно разряд десятков и разряд сотен.
Как было сказано выше, разряду десятков соответствует уравнение 2Т=М, а разряду сотен — одно из уравнений 2Э=М и 2Э=10+М.
Могут ли быть одновременно правильными уравнения 2Т=М и 2Э=М? Конечно, не могут, потому что Т и Э соответствуют разным цифрам. Поэтому правильным является уравнение 2Э=10+М. Из него и из уравнения 2Т=М следуют полезные выводы.

Таблица 4 даёт нам крайние возможные значения Т и М: Т не меньше 2; М не больше 8.
Из уравнения 2Т=М находим, что М не меньше 4, а Т не больше 4.

Прикрепленное изображение


Из уравнения для разряда сотен 2Э=10+М следует, что в разряд тысяч ушла единица переноса. Возвращаясь к двум уравнениям Т+Б=10 и Т+Б=9, полученным при рассмотрении разряда тысяч, делаем вывод, что правильно уравнение Т+Б=9. Перепишем его в виде Б=9-Т.
Из этого уравнения следует, что при возможных значениях Т, равных 2, 3 и 4, возможные значения Б — соответственно 7, 6 и 5.

Прикрепленное изображение


Берём из таблицы 6 возможные значения М, равные 4, 6 и 8, подставляем в уравнение 2Э=10+М и получаем, что 2Э равно либо 14, либо 16 либо 18. Следовательно, Э равно либо 7, либо 8 либо 9.

Прикрепленное изображение


Если пройтись по написанному выше, то можно видеть, что постепеннно мы узнали всё о единицах переноса и из каждой четвёрки уравнений выбрали правильное, а именно:
Для разряда десятков — 2Т=М.
Для разряда сотен — 2Э=10+М.
Для разряда тысяч — Т+Б=9.

Остались неизвестными значения четырёх букв, и мы имеем три уравнения, в которые входят эти буквы.
Невозможно решить систему из трёх уравнений с четырьмя неизвестными, поэтому мы вынуждены применить метод подбора.
Из таблицы 7 видно, что каждая из букв, численное значение которой нам неизвестно, может иметь три значения.
Значит, мы должны какой-либо из этих букв присвоить одно за другим три возможных значения, с помощью трёх уравнений найти значения остальных трёх букв и проверить, все ли эти значения разные. Какой букве присваивать её возможные значения — безразлично, в любом случае мы должны рассмотреть три варианта. Татиана в своём решении задавала значения Т, а мы будем задавать значения Э.

Если Э=7, то из 2Э=10+М следует, что М=4, из 2Т=М — что Т=2, и из Т+Б=9 — что Б=7. Но по условию задачи Т и Э соответствуют разным цифрам, значит, это предположение неверно.

Если Э=8, то из 2Э=10+М следует, что М=6, из 2Т=М — что Т=3, и из Т+Б=9 — что Б=6. Но по условию задачи М и Б соответствуют разным цифрам, значит, и это предположение неверно.
Следовательно, Э=9, из 2Э=10+М находим, что М=8, из 2Т=М — что Т=4, и из Т+Б=9 — что Б=5.



Восстановленный пример:

Прикрепленное изображение

Конечно, это изложение решения длинное, но хочется надеяться, что каждый, кто взялся решать эту задачу, найдёт здесь подсказку при любом затруднении.


Теперь о доказательстве единственности полученного ответа.

Если при решении какой-то задачи применяется метод подбора, то возникает вопрос: все ли варианты рассмотрены? Возможно, получив один ответ на задачу, мы успокоились на достигнутом и не попытались найти остальные ответы. Чтобы доказать, что найдены все ответы, достаточно обосновать количество возможных вариантов предположений и заявить, что полученный ответ (ответы) является (являются) результатом рассмотрения всех этих вариантов.

Решая эту конкретную задачу можно было бы ограничиться логическим выводом, что Г=1, и далее находить ответ только методом подбора. Задача при этом была бы такая: оставшимся пяти буквам (Б, Э, Т, А, М) ставить в соответствие оставшиеся девять чисел (0, 2, 3, 4...9) и, выполняя сложение, проверять правильность ответа.

Чтобы вычислить количество вариантов, которые следует при этом перепробовать, надо найти количество 5-элементных размещений из 9-элементного множества. По моим расчётам, надо перепробовать 15120 вариантов.

Мы максимально использовали логический метод решения, то есть, сделали все возможные логически выводы из всех возможных и имеющих смысл сочетаний утверждений, полученных при рассмотрении условия задачи. При этом количество возможных вариантов подбора сократилось до трёх, из коих только один дал верный ответ. По-моему, это и есть доказательство того, что полученный ответ является единственным.
Когда я учился в школе, нам не задавали логических задач. Два ответа у нас появлялись только при извлечении квадратного корня из положительного числа, а с корнями выше третьей степени мы не встречались.
Перейти в начало страницы
 
+Цитировать сообщение

Ответить в данную темуНачать новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



RSS Текстовая версия Сейчас: 21.10.2018, 23:37