IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

Активные темы за последние сутки
Новые сообщения с Вашего последнего посещения
Главная страница форума
Частично окрашенные кубики, «Софизмы, ребусы...». Сообщение #8. Задача 18. Решение и ответы.
Николай Петрович
сообщение 21.12.2015, 11:15
Сообщение #1


Я такой же, как все: я не похож ни на кого другого.


Группа: Пользователь
Сообщений: 2521
Регистрация: 7.10.2014
Из: Москва
Пользователь №: 2324



Представьте себе деревянный куб со стороной 3 дециметра, вся поверхность которого окрашена в черный цвет, и ответьте на следующие вопросы.

1. Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной 1 дециметр?
2. Сколько получится таких кубиков?
3. Сколько кубиков будет иметь по 4 окрашенные стороны?
4. Сколько кубиков будет иметь по 3 окрашенные стороны?
5. Сколько кубиков будет иметь по 2 окрашенные стороны?
6. Сколько кубиков будет иметь 1 окрашенную сторону?
7. Сколько кубиков будет неокрашенных?




Кубик Рубика, если он у вас есть — хорошее наглядное пособие для решения этой задачи или для лучшего понимания помещённых ниже ответов.
В ответах слово «сторона» заменено словом «грань».

1. Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики с длиной рёбер 1 дециметр?

Чтобы разделить куб на три слоя, потребуется 2 горизонтальных разреза; чтобы разделить одновременно все слои на три столбика каждый, потребуется 2 вертикальных разреза; чтобы разделить одновременно все столбики на кубики, потребуется 2 вертикальных (в другом направлении) разреза, итого 6 разрезов.


2. Сколько получится таких кубиков?

3 столбика по 3 кубика, 3 слоя по 3 столбика, итого 27 кубиков.



3. Сколько кубиков будет иметь по 4 окрашенные грани? Ни одного, потому что:

Все кубики получены путём распиливания, а каждое распиливание — это создание неокрашенных плоскостей. Из первых двух распиливаний по крайней мере одно коснулось каждого из слоёв и, следовательно, каждого из будущих кубиков. Из следующих двух распиливаний по крайней мере одно коснулось каждого из столбиков и, следовательно, каждого из будущих кубиков. Из последних двух распиливаний по крайней мере одно коснулось каждого кубика. Значит, у каждого кубика есть по крайней мере три грани, созданные путём распиливания, то есть, по крайней мере три неокрашенные грани. Всего же у кубика шесть граней. Значит, максимальное количество окрашенных граней у кубика равно трём.
Можно рассуждать по-другому. Представим себе куб, на который нанесены линии на местах распиливания. Легче всего вообразить будущие кубики в вершинах куба, где сходятся три грани куба. Их восемь: четыре сверху и четыре снизу. Никакие другие будущие кубики не имеют такого или большего количества окрашенных граней. У любого кубика шесть граней. У этих восьми по три окрашенных грани, и распиливание не добавляет окраски, значит, максимальное количество окрашенных граней у этих восьми кубиков равно трём.


4. Сколько кубиков будет иметь по 3 окрашенные грани? См. выше


5. Сколько кубиков будет иметь по 2 окрашенные грани?

Так окрашены кубики, которые до рассыпания распиленного куба были средними в тройках, образовывавших рёбра куба, а рёбер у него было четыре снизу, четыре сверху и четыре вертикальных, итого 12 кубиков.


6. Сколько кубиков будет иметь 1 окрашенную грань?


Так окрашен один центральный кубик из каждых девяти, составлявших грани куба до его рассыпания, а у него было граней одна снизу, одна сверху и четыре боковых; итого 6 кубиков.


7. Сколько кубиков будет неокрашенных?

Один, который был в центре куба.
Перейти в начало страницы
 
+Цитировать сообщение
 
Начать новую тему
Ответов (1 - 1)
Николай Петрович
сообщение 29.6.2018, 20:30
Сообщение #2


Я такой же, как все: я не похож ни на кого другого.


Группа: Пользователь
Сообщений: 2521
Регистрация: 7.10.2014
Из: Москва
Пользователь №: 2324



О количестве окрашенных сторон у кубиков можно написать и так:


Возвращаюсь от слова «грань» к слову «сторона».

У куба восемь вершин, двенадцать рёбер и шесть граней.

Вершины куба — это точки, в которых сходятся три его грани. К каждой вершине может примыкать только один кубик, поэтому после распиливания куба на любое количество кубиков будут окрашены с трёх сторон восемь кубиков.

Рёбра куба — это линии, на которых сходятся две его грани, к рёбрам примыкают кубики, расположенные у краёв каждой грани, поэтому у них у всех будут окрашены как минимум две грани. В нашем случае к каждому ребру примыкают три кубика, из которых два примыкают к вершинам куба. Не примыкает к вершине только один кубик, он и будет окрашен с двух сторон. Значит, количество кубиков, окрашенных с двух сторон, будет равно количеству рёбер куба, то есть, двенадцати.

Те кубики, которые примыкают к одной какой-либо грани, но находятся в её срединной области, то есть, не примыкают к краям этой грани (краями грани являются и углы грани), будут иметь одну окрашенную сторону. В нашем случае к одной грани примыкают девять кубиков. Если вычесть из этого количества четыре угловых кубика и четыре кубика, расположенных между угловыми, остаётся один кубик, который будет окрашен с одной стороны. У куба шесть граней, поэтому с одной стороны будут окрашены шесть кубиков.

Уберите от распиленного, но ещё не разобранного куба все кубики, находящиеся на его поверхности. Останется куб, состоящий из всех неокрашенных кубиков, и вдоль каждого из рёбер этого куба будет на два кубика меньше чем у исходного куба. В нашем случае внутри оболочки из окрашенных кубиков находится всего один кубик.

Это решение специально написано так, чтобы на его основании можно было написать решение для случая, когда куб распиливается на n в третьей степени кубиков, где n — любое целое число.
Перейти в начало страницы
 
+Цитировать сообщение

Ответить в данную темуНачать новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



RSS Текстовая версия Сейчас: 18.7.2018, 9:50