Версия для печати темы

Автор: Николай Петрович 23.5.2016, 22:02

Десять лыжников ушли со старта с интервалом в 1 минуту (в порядке возрастания номеров) и шли по дистанции с постоянными скоростями. Известно, что каждый лыжник в какой-то момент времени лидировал в гонке.

А) 10-й лыжник.
В) 1-й лыжник.
С) 4-й лыжник.
D) 8-й лыжник.

Какой лыжник придет первым к финишу?

Для однозначного понимания условия этой задачи нужно считать, что лидирование — это нахождение на трассе соревнований впереди тех из остальных участников, которые уже стартовали.

Сначала я не понял значение строк, начинающихся с латинских букв. Заглянув по ссылке в источник, увидел, что авторы большинства ответов увидели в этом варианты ответов. Присоединяюсь к их мнению. «Какой из этих лыжников» — это я понял бы сразу.

Наверняка в вашем детстве было так, что на прогулке вы вдруг останавливались, заинтересовавшись чем-то, а родители шли дальше. Потом вы бегом их догоняли. Не только догоняли, но и перегоняли, чтобы попасться им на глаза.
Итак, тот из двоих, кто отстаёт, но движется быстрее, догонит и перегонит того, кто движется медленнее, для этого только нужно иметь время. (Можно сказать иначе: для этого нужно догонять на дистанции, достаточно длинной для того, чтобы расстояние между догоняющим и догоняемым успело уменьшиться до нуля.)
Если к тому же оба движутся с неизменными скоростями (это условие распространяется на все дальнейшие рассуждения), то второй (догнавший) больше не будет отстающим, а будет всё время лидирующим по отношению к первому.

На приведённых ниже графиках чёрная прямая — график движения первого лыжника, синяя — второго лыжника, зелёная — третьего лыжника.

Нарисуем график движения «первый лыжник догоняет второго» так, как рисуют https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA_%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%B5%D0%B7%D0%B4%D0%BE%D0%B2



Когда на дистанцию выйдет третий лыжник, ему, чтобы побывать в лидерах, нужно догнать первого и второго.



Смотрим на график: догнать кого-то — значит находиться с ним в одной точке пути в одно время. Это значит, что зелёная прямая должна быть проведена так, чтобы пересечь и чёрную, и синюю. А для этого она должна быть наклонена под бтльшим углом к горизонтали, чем чёрная и синяя прямые, что соответствует бтльшей скорости.
Если верить графику, скорость третьего лыжника в три раза больше скорости первого. Такого не может быть на реальных соревнованиях, однако этот график удобен как иллюстрация к сказанному.

Те же соображения применимы ко всем по очереди лыжникам: каждому следующему нужно стать лидером прежде, чем его догонит тот, кто стартует за ним, ведь тому по условию задачи тоже нужно побывать в лидерах.



Только десятого лыжника некому было обгонять и потому он первым пришёл к финишу.

Вот более близкие к реальности графики движения.

Автор: Иваныч 24.5.2016, 20:28

Задача из разряда логических и на мой взгляд решается довольно простым рассуждением. Поскольку последний из стартовавших 10-й номер в какой-то момент оказался лидером, следовательно, он обогнал всех и в дальнейшем будет только удаляться от них, так как его постоянная скорость выше постоянных скоростей остальных участников.

Автор: Николай Петрович 24.5.2016, 23:08

Вы правы, Иваныч. Если считать, что контингент читателей форума «Задачи» — пенсионеры, тогда решением нужно считать то, что написали Вы. Но у меня нет сведений, кто в действительности читает мои решения. Я предполагаю, что их читают в том числе школьники, решения я главным образом адресую им, поэтому решение любой задачи стараюсь «разжевать». Плохо, что никто не пишет ничего по поводу моих решений. (Редкое исключение из этого правила Вы можете видеть, если на странице с перечнем тем щёлкнете по какому-нибудь числу в столбце «Ответов». Не забывайте закрывать открывшееся окошко перед щелчком по очередной цифре.) А хотелось бы знать мнение школьников или учителей (работающих).
Что-то мне самому в моём решении не нравится, по-видимому, разжевал как-то не так.
Когда я поместил эту задачу в тему «Софизмы, ребусы...», я обещал, что помещу решение. Вот поместил такое, какое получилось.