В прямоугольной кювете с солёной водой… лёд растаял…, Олимпиадная задача по физике Опции

[Николай Петрович]

. . .В прямоугольной кювете с солёной водой 0,28 часть объёма была занята пресным льдом, примороженным к стенкам и дну, причём уровень воды и льда совпадал. После того как лёд растаял, гидростатическое давление около дна изменилось. Определите: на сколько процентов? Атмосферное давление не учитывать. Начальная плотность солёной воды 1050 кг/м³, плотность льда 900 кг/м³.

Уточнение

. . .Лёд приморожен к стенкам и к части дна. Если бы льдом было покрыто всё дно, это было бы равносильно уменьшению глубины сосуда. А прямоугольность сосуда (кюветы) не обязательна, важно только, чтобы его дно было плоским и горизонтальным.

Приступаем к решению

. . .На разницу плотностей воды и льда обратим внимание после того, как решим задачу в предположении, что этой разницы не существует.

. . .Введём обозначения:
V₁ — объём солёной воды
ρ₁ — плотность солёной воды
V₂ — объём пресного льда
ρ₂ — плотность пресного льда
Vк — сумма объёмов солёной воды и пресного льда
ρк — плотность смеси солёной воды и талой воды
р₁ — гидростатическое давление около дна до таяния льда
рк — гидростатическое давление около дна после таяния льда


. . .Когда лёд приморожен к стенкам и части дна сосуда, его можно рассматривать как часть материала сосуда. В этом случае столб жидкости состоит только из солёной воды с плотностью ρ₁.
. . .Талая вода имеет меньшую плотность, чем солёная, поэтому плотность ρк их смеси будет меньше, чем плотность солёной воды. Вопрос поставлен так, что ответ следует вычислить по формуле

Формула гидростатического давления

Гидростатическое давление [около дна] — [это] давление столба жидкости на дно сосуда:
p = ρgh,
где ρ — плотность жидкости, h — высота столба жидкости.
Здесь g — ускорение свободного падения, введено для того, чтобы давление было выражено в паскалях. Вывод этой формулы помещён в учебнике Перышкина

. Из этой формулы видно, что давление жидкости на дно сосуда зависит только от плотности и высоты столба жидкости.

В нашей задаче давление столба солёной воды p₁ = ρ₁gh

и давление столба смеси pк = ρкgh

Тогда формула для вычисления ответа приобретает вид

Плотность смеси двух жидкостей

. . .Когда весь пресный лёд приморожен к стенкам сосуда и к части дна, его можно считать частью тела сосуда. Поэтому столб жидкости, определяющий давление у дна, состоит только из солёной воды. После таяния льда и смешения талой воды с солёной плотность столба жидкости изменится. Для сравнения плотностей жидкости в этих двух столбах нам потребуется рассчитать плотность смеси двух жидкостей.
В школьных учебниках не удалось найти формулу плотности смеси двух веществ, поэтому пришлось предпринять более широкий поиск.

Масса вещества равна плотности вещества, умноженному на его объём. При смешении двух жидкостей масса смеси равна сумме масс смешиваемых веществ жидкостей. Так можно пояснить формулу материального баланса.




где: Vк — объем смеси солёной и талой воды;
ρк — плотность смеси солёной воды и талой воды;
V₁ — объем солёной воды;
ρ₁ — плотность солёной воды;
V₂ — объем пресного льда;
ρ₂ — плотность пресного льда.

Разделив обе части этого равенства на Vк и заменив Vк на V₁ + V₂, получим формулу для расчёта плотности смеси двух жидкостей




Рассчитаем по этой формуле плотность смеси. По условию задачи пресный лёд занимает V₂/ (V₁+V₂)=0,28 часть объёма сосуда, значит, солёная вода занимает V₁/(V₁+V₂)=0,72 части.

ρк = 0,72*1050 + 0,28*900 = 756 + 252 = 1008

. . .Пусть теперь изменится плотность талой воды. Высота столба смеси солёной воды и талой воды немного уменьшится, но масса этого столба не изменится, поэтому не изменится давление столба жидкости на дно.



В интернете есть краткое изложение решения такой же задачи с другими исходными данными.