Две старушки: быстрая и медленная, «Софизмы, ребусы...». Сообщение #90 Опции

[Николай Петрович]

Две старушки: быстрая и медленная

Из пункта А в город Б отправилась в путь старушка «А». Одновременно из пункта Б в пункт А по той же дороге отправилась в путь старушка «Б» (быстрая). Ровно в полдень они встретились и, не останавливаясь, продолжили путешествие. Старушка «Б» пришла в пункт А в 4 часа дня, а старушка «A» пришла в пункт Б только в 9 часов вечера. Когда старушки отправились в путь?

Если старушки вышли в путь одновременно, а пришли в пункты назначения в разное время, значит, они шли с разными скоростями. Изобразим эти скорости в виде векторов.



Va — скорость старушки «А», Vб — скорость старушки «Б».
Решение задачи обеспечит то, что мы обозначили отношение этих скоростей буквой k.

Старушки шли навстречу друг другу и в полдень встретились.



Поскольку в задаче мы имеем дело не с численными значениями скоростей, а только с их отношением, то векторы скоростей можем рисовать в любом масштабе, важно, чтобы одинаковом. Здесь их длины равны длинам соответствующих частей отрезка АБ, изображающего дорогу между пунктами А и Б. Поэтому на рисунке 2 длины векторов не только отображают скорости старушек, но и изображают пути, пройденные ими за время от выхода в путь до встречи.

Всё, что можно сказать, глядя на рисунок 2, это:
1. Скорость старушки «А» в k раз меньше скорости старушки «Б»;
2. Скорость старушки «Б» в k раз больше скорости старушки «А»;
3. Путь, пройденный старушкой «А» до встречи, в k раз меньше пути, пройденного за это время старушкой «Б»;
4. Путь, пройденный старушкой «Б» до встречи, в k раз больше пути, пройденного за это время старушкой «А»;
5. После встречи старушке «А» предстоит пройти путь в k раз больший, чем она прошла;
6. После встречи старушке «Б» предстоит пройти путь в k раз меньший, чем она прошла.

Здесь есть кое-что лишнее, но я хотел показать, как иногда полезно всесторонне охарактеризовать ситуацию, написав о ней всё, что можно.

На следующем рисунке векторы нарисованы под теми участками дороги, которые старушки прошли после встречи. Масштаб векторов взят другой для того, чтобы длина вектора Vб была равна отрезку АВ.



Об этих векторах можно сказать, что они не только отображают скорости старушек, но и изображают пути, пройденные ими за время от встречи до окончания путешествия старушкой «Б». Это время легко найти из условия задачи: после встречи старушка «Б» шла с 12 до 16 часов, то есть, 4 часа.
Теперь всё внимание — старушке «А». Используем оставшуюся часть условия: старушка «А» после встречи шла с 12 до 21 часа, то есть, 9 часов. Отчего такая разница: 4 часа и 9 часов?
Во-первых, после встречи старушка «А» должна была преодолеть расстояние ВБ, в k раз большее, чем старушка «Б», и если бы она прошла его со скоростью старушки «Б», то на остаток пути у неё ушло бы в k раз больше времени, чем у старушки «Б» на остаток её пути (АВ).
Во-вторых, скорость у старушки «А» меньше в k раз, и это дополнительно увеличивает в k раз время преодоления остатка пути. Значит, k*k=9/4=2,25; отсюда находим k=1,5.

Возвращаемся к рисунку 3. Путь ВБ старушка «А» прошла за 9 часов, а путь АВ в k=1,5 раза меньше пути ВБ. Значит, путь АВ (от выхода в путь до встречи) она прошла за время, в полтора раза меньшее, то есть, за 6 часов. Отматываем время от полудня назад на 6 часов и получаем ответ: старушки вышли в 6 часов утра.