Версия для печати темы

Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате

ФОРУМ Клуба Второе дыхание _ Задачи _ Туда и обратно по реке и по стоячей воде

Автор: Николай Петрович 11.12.2017, 22:29

Сообщение #1 существовало ранее. Внесены незначительные изменения в конец текста, для чего тема была удалена и вновь открыта.

Два спортсмена, тренируясь, одновременно начали лодочные гонки: один по реке, вниз и вверх по течению, а другой на такое же расстояние по озеру со стоячей водой, расположенному рядом с рекой.
Допустим, что усилия обоих гребцов все время были совершенно одинаковы.
Который из них вернется раньше? Время, затрачиваемое на поворот, в расчет не принимается.

Рассмотрим случай, когда скорость течения меньше скорости лодки с гребцом на сколь угодно малую величину. Тогда путь по течению лодка пройдёт с почти удвоенной скоростью, а cкорость при обратном пути будет сколь угодно малой, соответственно, время в пути будет сколь угодно велико.

Если это рассуждение для вас неубедительно, то прибегну к математике.

Гребца, плывущего по озеру, назовём первым, плывущего по реке — вторым.

Обозначения:

S — половина дистанции гонок (расстояние от старта-финиша до точки поворота)
T1 — результат гребца в стоячей воде
T2 — результат гребца в реке
Vл — скорость лодки относительно воды
Vв — скорость течения реки

Результат гребца в стоячей воде

Выражение для результата второго гребца более сложно, так как в нём учитывается скорость течения реки, эта скорость на первой половине дистанции складывается со скоростью лодки, а на второй половине — вычитается из неё.

Если то выражение (2) превращается в выражение (1).

Если , то второе слагаемое равно бесконечности, что означает, что второй гребец никогда не пройдёт дистанцию.

Если в выражении (2) дроби привести к общему знаменателю, объединить числители и оформить знаменатель в виде дроби, то получится выражение (3), по которому можно более наглядно предсказать проигрыш второго гребца:

Если в этом выражении , то численного различия между Т1 и Т2 нет, но любое увеличение уменьшает знаменатель и увеличивает время Т2 прохождения дистанции гребцом, плывущим по реке.

Ответ: раньше вернётся гребец в лодке, плывущей по озеру.